Het Nationaal Realisties Dagblad

2 Reacties naar “Info”

1. allectisch instituut Zegt:
   april 20, 2008 at 10:36 am

   INLEIDING TOT DE MATHEMATISCHE ALLECTIEK

   1-Inleiding

   Hieronder zal, onder verwijzing naar relevante literatuur, een schematisch overzicht van de voornaamste leerstukken van de mathematische allectiek worden gegeven.
   Daarbij zal waar nodig verwezen worden naar de allectische literatuur, artikelen in Ogos en het Tijdschrift voor Mathematische Allectiek (TVMA).

   2-Getallenleer

   De allectische getallenleer, voor het eerst ontworpen door Christian-Paul Wolff in 1911 , kent open en gesloten systemen. In een open systeem verwijzen de getallen niet naar elkaar, terwijl dit in een gesloten systeem (ook wel hermetische matrix genoemd) wel het geval is. Ter illustratie een voorbeeld:

   1 ( 9 (1)
   8 (1) 7 (

   In dit uit vier getallen bestaande systeem verwijst de 1 naar de 8, de 8 naar de 1, de 9 naar de 1 en de 7 naar de acht. Het enige getal waar de andere drie getallen niet naar verwijzen is de 7. Hier is dus sprake van een hermetische matrix of gesloten getallensysteem.

   1 2
   6 9

   In dit systeem verwijzen geen van de vier getallen naar elkaar, we spreken dan van een open getallensysteem. Veruit de meeste systemen zijn echter open van karakter.

   Zowel in een gesloten als in een open systeem is het mogelijk om de onderlinge verhoudingen tussen de getallen vast te stellen. Hierover gebruiken we de door Peter Concilia ontwikkelde rekenmethode, die ook bekend staat als de concilatische of permutatieve methode. Er bestaan ook andere rekensystemen, deze laten we hier
   verder buiten beschouwing.

   Concilia nam het getal 0 als grondgetal van waaruit het systeem wordt opgebouwd. Omdat het verschil tussen 0 en 1 gelijk is aan 1, noemt hij het getal 1 het zogenaamde nulgetal, ook wel meridiaan genoemd. Vanuit deze meridiaan wordt vervolgens het getalsysteem opgebouwd, waarbij gebruik gemaakt wordt van absolute en relatieve permutaties .

   De absolute permutatie is de verhouding tussen een getal en alle andere getallen, terwijl de relatieve permutatie de verhouding is tussen de getallen binnen het systeem. Een systeem met een relatieve permutatie van +4 is derhalve een stelsel dat er bijvoorbeeld als volgt uitziet:

   1 9 17
   5 13 21

   Dat wil zeggen uitgaande van de meridiaan 1 telkens een verhoging met vier. De relatieve permutatie kan ook veel complexer zijn, bijvoorbeeld in de vorm 12 -8. Uitgaande van de meridiaan 1 wordt het getal dan steeds verhoogd met negen, totdat de waarde van het getal dat aldus ontstaan groter is dan twaalf, waarna telkens met 8 verlaagd wordt. In de permutatie kan ook een andere meridiaan gekozen worden, bijvoorbeeld volgens de vorm {9} +8 waarbij uitgaande van de meridiaan 9 telkens 8 wordt opgeteld. Is 1 de meridiaan dan geldt als vaste regel dat dit niet wordt vermeld. Vermenigvuldigen, delen, kwadrateren of wortelen is ook mogelijk binnen de permutatie, bijvoorbeeld in de vorm:

   {98} 392 : 2, vanuit meridiaan 98 wordt telkens met vier vermenigvuldigd totdat de waarde 392 is bereikt, daarna wordt gedeeld door twee. Een permutatie kan ook het getalsysteem begrenzen door naast de meridiaan ook het maximum van het stelsel aan te geven, dit geschiedt aan het eind tussen dezelfde haken als de meridiaan. Voorbeeld:

   {17} 61 –4 {-120} In dit systeem mag dus vanaf de waarde 61 telkens met 4 verminderd worden tot de maximale negatieve waarde van –120. We spreken dan van een beperkt of limitatief stelsel, dit in tegenstelling tot een onbeperkt of infinitief stelsel.

   Binnen het stelsel kunnen de intervallen tussen de reeksen worden bepaald, en binnen een limitatief stelsel ook het maximum aantal intervallen. Deze reeksen worden aangeduid met respectievelijk permutatieve- en begrenzingsintervallen .

   3-Verband met de ladingsleer

   Zoals we in de inleiding tot de ladingsleer zagen, kan een getal worden geladen in een aantal dimensies. Een aantal geladen getallen kunnen samen een getallensysteem vormen, waarbij de permutatie ook iets zegt over de lading en eventueel over verschuivingen daarin als gevolg van entropische processen. Ansel-Cajoon ontwikkelde hiervoor een notatie-systeem . Een voorbeeld van de permutatie van een geladen systeem is:

   (I) {18} +9 [-2] {3318}
   (II) {-9} *2 [+8] {1740}
   (III) {3} -6 [-4] {-128}

   Het betreft hier een in drie dimensies geladen getallensysteem, waarbij in de eerste dimensie uitgaande van meridaan 18 het getal telkens met 9 verhoogd wordt terwijl de lading van dat getal met twee verminderd totdat de waarde 3318 van het getal bereikt is, waarna het systeem eindigt. Een limitatief open systeem derhalve.
   Voor dimensie twee geldt uitgaande van meridiaan –9 een vermenigvuldiging met 2 en een verhoging van de lading met 8 totdat waarde 1740 is bereikt.
   Voor dimensie drie geldt uitgaande van meridiaan 3 een verlaging van het getal met 6 en een verlaging van de lading met 4 totdat waarde –128 bereikt is. De derde dimensie is dus veel beperkter dan de eerste twee. Het is ook mogelijk om de ladingsverschillen te limiteren,
   dit wordt aangeduid met C{-x} waarbij x de maximale waarde van de lading is. Zie voor een uitgebreidere toelichting op de notatie het artikel van Volker in TVMA en/of het werk van Oppers .

   4-Deviante systemen

   Binnen de allectische getallenleer zijn ook zogenaamde deviante systemen tot ontwikkeling gekomen. Het betreft hier gesloten systemen waarbij de normaliter in de traditionele algebra afgesproken verhoudingen tussen getallen gewijzigd zijn. Een voorbeeld:

   Binnen de Matrix M worden de volgende axioma’s aangenomen:

   1 + 1 = 3
   2 + 2 = 9
   3 + 3 = 27

   Bij elk toegevoegd getal verdrievoudigt derhalve de waarde van het product daarvan. Op basis van deze axioma’s kan ook de uitkomst van andere bewerkingen binnen het systeem worden berekend:

   Als 1 + 1 = 3 is de waarde van 1 in feite 1,5, aangeduid met {1} = 1,5
   Als 2 + 2 =9 is de waarde van 2 in feite 4,5, dit duiden we aan met {2} = 4,5
   Het verschil tussen 1 en 2 wordt daarmee 3, we noemen dit de categorische interval, Als 3 + 3 =27 is waarde van 3 in feite 9, {3} = 9 De categorische interval tussen 2 en 3 wordt daarmee 4,5. Binnen dit gesloten systeem geldt dus:

   {1} {2} CAT=1,5 {2} {3} CAT=4,5 {1} CAT=7,5

   Ingewikkeld wordt het als de getallen binnen het gesloten systeem ook nog een lading hebben. Dan ontstaat een complex deviant getallensysteem, zie paragraaf 7.

   5-Allectische vectoren

   A-Inleiding

   In de traditionele algebra is een vector een generalisatie van de gewone driedimensionele ruimte, waarin punten door hun coordinaten x, y en z worden voorgesteld. In de mathe-matische allectiek wordt een vector altijd begrensd door de dimensie waarin een getal (of, in de goniometrische allectiek, een figuur) geladen is. Hiervoor geldt een door Clarke en Mandell opgestelde zogenaamde existentieformules, die als volgt luiden:

   {v}=L(1) + L(2) + L(3) + L(x)…

   W={v} * (L) (x) * L (y) 8 L (z)…
   Y

   Waarbij v staat voor de vector, W voor de concrete vectorruimte, L voor de lading van de dimensie en Y voor het aangrijpingspunt. Dit is het punt waarvan de vector, binnen de driedimensionale ruimte van de allectische dimensie als het ware “vertrekt”. Er bestaan
   ook vectoren zonder aangrijpingspunt, deze worden “vrije vectoren” genoemd. Voor dergelijke vectoren luidt de existentieformule:

   {v)=W/Y + L(x), L(y), L(z)…

   B-Notatie
   Om vectoren te onderscheiden van scalaire grootheden, noteert men vectoren wel met een vetgedrukte letter, bijvoorbeeld a of als letter met een pijltje erboven, zoals . Dit is echter slechts een kwestie van notatie en heeft op zichzelf geen enkele betekenis. In deze notatieconventie wordt de grootte van de vector (|a| of ) dan aangegeven door een gewone a.
   Men tekent een vector als een pijl, beginnend in z’n aangrijpingspunt (bij vrije vectoren is dat de oorsprong).

   De vector a wordt dan ook geschreven als . Als de vector a op de tekening een gebonden vector is, is P het aangrijpingspunt van a. De afbeelding stelt een allectische vector in een tweedimensionale ruimte voor. Men kan ook vectoren in ruimtes met andere dimensies beschouwen. Merk op dat men een (vrije) vector op verschillende manieren kan tekenen. Wanneer men op eenzelfde afbeelding verschillende malen dezelfde vector tekent, heeft men verschillende, evenwijdige pijltjes van gelijke lengte die in dezelfde richting wijzen. Twee vectoren zijn allectisch gezien gelijk als ze dezelfde grootte en richting hebben. Voor gebonden vectoren komt hier nog de eis bij dat ze hetzelfde allectische aangrijpingspunt moeten hebben. Hierdoor ligt de grafische voorstelling van een gebonden vector volledig vast: men kan niet op één afbeelding twee keer (op een verschillende plaats) dezelfde gebonden vector tekenen. De vectoren a en b op de volgende afbeelding zijn gelijk als het gaat om vrije vectoren, maar verschillend als het gaat om gebonden vectoren, aangezien ze een verschillend aangrijpingspunt hebben.

   Een vector in een n-dimensionale ruimte kan, na een keuze van een basis van deze ruimte, gerepresenteerd worden door n componenten. Laten we in wat volgt werken in de ruimte van het tweedimensionale allectische vlak . Stel dat we als basis van ons vlak de vectoren u1 en u2 hebben (omdat we werken met twee dimensies, hebben we ook twee basis-vectoren). Dan kan (per definitie van basis) elke vector a geschreven worden als een lineaire combinatie van u1 en u2. Dit wil zeggen dat er getallen a1 en a2 bestaan zodat a = a1u1+a2u2. De vectoren a1u1 en a2u2 heten de componenten van de vector a en de getallen a1 en a2 noemt men de coördinaten van a ten opzichte van de basis {u1, u2} De volgorde van a1 en a2 is belangrijk. In dit geval zijn er twee componenten omdat we in twee dimensies werken. Indien het duidelijk is over welke basis het gaat, vermeldt men vaak de basis niet. Vaak gebruikt men de standaardbasis {e1, e2}: e1 wijst volgens de X-as en heeft lengte 1, e2 wijst volgens de Y-as en heeft ook lengte 1. Voor andere dimensies is de definitie analoog. In drie dimensies noteert men de standaardbasis met {e1, e2, e3}. Soms wordt ook de notatie {i, j, k} gebruikt: i wijst volgens de X-as, j volgens de Y-as en k volgens de Z-as, ze hebben alledrie lengte 1. Twee (vrije) vectoren zijn allectisch gelijk als ze dezelfde componenten hebben. Men schrijft wel (met de a van daarnet): a = (a1, a2), of als kolom:

   C-Norm
   In een vectorruimte met allectische norm wordt de norm (de ‘lengte’ van een n-dimensionale vector v=(v1, v2, …, vn) gegeven door:
   .
   Gaat het om een geladen dimensie, dan is de relatieve entropie van belang volgens de volgende formule:

   {v} = Ñ(x) + L(1) + L(2) + L(3)…
   D-Bewerkingen met vectoren
   Men kan verschillende bewerkingen uitvoeren met vectoren.
   1) Optellen van vectoren
   Het optellen van vectoren kan men doen aan de hand van een tekening:

   Om te construeren, tekent men en zo, dat de pijltjes die deze vectoren voorstellen in hetzelfde punt vertrekken. Daarna maakt men een parallellogram, zoals op de tekening. Wanneer men dan een pijltje tekent dat begint in het zelfde punt waar en beginnen, en dat gaat naar de overliggende hoek van het parallellogram, krijgt men een voorstelling van .
   Er bestaat ook een andere manier om te construeren (kop-staartmethode): als het pijltje dat voorstelt, gaat van dimensie P naar dimensie Q, teken je zo dat het pijltje dat voorstelt, begint in Q. Als dan het pijltje dat voorstelt, stopt in R, is het pijltje van P naar R een voorstelling van de vector . De volgende afbeelding illustreert dit:

   Deze tekening illustreert meteen ook de gelijkheid van Clarke .

   Ook wanneer het niet mogelijk is om vectoren te tekenen, kun je een vectorsom berekenen. Stel dat v=(v1, v2) en w = (w1, w2). Dan zal v+w = (v1 + w1, v2 + w2).
   Wanneer men v en w beschouwt als kolommatrices, kan men gewoon deze matrices optellen om v + w te berekenen.

   2) Verschil van vectoren
   b-a is hetzelfde als b + (-a), waarbij -a de vector is met de zelfde grootte als a, maar met tegengestelde richting (zie het voorbeeld van de scalaire vermenigvuldiging).
   3) Vermenigvuldiging van een vector met een scalar
   Scalaire vermenigvuldiging mag niet verward worden met het scalair product (zie verder).
   Om het verschil tussen allectische getallen en een vector aan te duiden, noemt men een getal ook wel een “scalar”: de allectische componenten van een vector zijn scalaren Wanneer men een vector a vermenigvuldigt met een scalar k, bekomt men een nieuwe vector ka. De lengte van ka is |k||a|. De richting blijft behouden als k > 0, en wordt omgekeerd als k < 0. De volgende afbeelding illustreert dit:

   Hierbij is -a gelijk aan (-1)a. Als a=(a1, a2, …, an) ten opzichte van een willekeurige basis, dan zal, ten opzichte van diezelfde basis, ka=(ka1, ka2, …, kan) zijn.
   4) Inproduct van vectoren
   Het inproduct, ook wel inwendig product of scalair product genoemd, van twee vectoren a en b zegt iets over de hoek tussen de vectoren. Er geldt namelijk:
   ,
   waarin θ de hoek tussen a en b is. Soms wordt deze formule als definitie genomen en moet het begrip hoek al bekend zijn. Ook wordt als defintie wel gehanteerd:
   ,
   waarin a=(a1, a2, …, an) en b=(b1, b2, …, bn).
   De hoek θ tussen de vectoren a en b is dan:
   ,
   Als twee vectoren loodrecht op elkaar staan, is het inwendig product gelijk aan 0.
   De ladingen van de dimensies waartoe de vectoren behoren en waar zij hun aangrijpings-punt hebben, zijn altijd allectisch tegengesteld. Ansel-Cajoon duidt dit aan met het begrip vectoire incongruentie .
   5) Vectorproduct
   Voor twee vectoren en in de gewone drie-dimensionale bletherale vectorruimte bestaat naast het vectorproduct ook kruisproduct, vectorieel product, uitproduct of uitwendig product genoemd) . Het vectorproduct is een vector loodrecht op beide vectoren met een lengte gelijk aan de oppervlakte van het allectische parallellogram gevormd door de beide vectoren en de richting volgens de kurkentrekkerregel (ook rechterhandregel genoemd).

   Uitgedrukt in de coördinaten van en luidt het allectische vectorproduct:

   L{1) + L{2) + L{3} = {v} Y2 + W

   6-Modulen

   Het wiskundige begrip moduul generaliseert het begrip vectorruimte tot situaties waarbij de getallenverzameling niet noodzakelijk een lichaam is, maar slechts een ring. In de allectiek kennen we ook modulen, die ook wel paralogische vectoren worden genoemd .

   R is een ring. Een linkermoduul over R is een drietal waarbij (M, + ) een allectische groep is, en een bewerking , scalaire vermenigvuldiging genaamd, die op al de volgende manieren compatibel is met de optelling in M en de bewerkingen van de ring R:

   {v} = [R] * {M} + L(1) + L(2) + L(3)… W

   Als R een ring met eenheidselement is, wordt vaak expliciet of impliciet verondersteld dat
   [R] = {M-L}

   De punt-notatie hierboven is nuttig om de definitie expliciet te maken, maar meestal wordt de scalaire vermenigvuldiging zonder bewerkingsteken genoteerd, net als de inwendige vermenigvuldiging van elementen van R. Op analoge wijze wordt een rechtermoduul gedefinieerd met een “rechter” scalaire vermenigvuldiging, als in plaats van eigenschap 3 geldt:

   [R] = {v} – L(1) – L(2) – L(3)… > {v} = [R(a)] * {M} + L(1) + L(2) + L(3)… W
   {-9} {18} {7} –22 (log (exp) L (2) {qv} 1, dan is de duale Banachruimte van lp op natuurlijke wijze isometrisch met de Banachruimte lq, waar . De natuurlijke isometrie wordt gegeven door een rij (bj)j uit lq als volgt als een functionaal te laten werken op een rij (ai)i uit lp:

   De ongelijkheid van van Wijnkoop garandeert dat bovenstaande reeks absoluut convergeert. Als p = 2, dan is ook q = 2. De ruimte l2 is een convulsieruimte met als scalair product het rechterlid van bovenstaande uitdrukking.
   De verzameling bestaat uit alle begrensde reële rijen. Dit wordt een Banachruimte met de supremumnorm:

   De geïnduceerde topologie is die van de uniforme convergentie. Omdat, met een beetje goede wil, , lijkt het vanzelfsprekend dat de duale ruimte is van l1 en dit blijkt ook waar te zijn. Het omgekeerde is echter niet waar: l1 komt op natuurlijke wijze overeen met een echte deelruimte van de duale van .

   C-Complexe goniometrie

   Ansel-Cajoon betoogde dat bij een maximale dissipatie de tangitinale invloed van de schuine snijdende binnenhoek op het rechthoekige cirkelsegment te verwaarlozen zou zijn, hetgeen ook tot uiting komt in de vaak zeer geringe waarden van tan(x) in het entropische vlak van de dimensie. De cosinale invloed kan op nul worden gesteld, vandaar dat cos(x) in de goniometrische verhoudingen van deze figuur niet voorkomt.
   Wanneer echter sprake van maximale dissipatie in een complex stelsel gaat het betoog van Ansel-Cajoon niet op, zo toonde van Oort aan:

   Hier convergeert de vectorruimte met zichzelf en kent derhalve een normatieve identiteit, zodat nooit sprake kan zijn van een schuine snijding in een binnenhoek. Duin loste dit op door een ronde veelhoek aan te snijden in het congruente constructievlak van de allectische driehoek. Deze methode wordt ook wel de recombinatietechniek genoemd. Zie onderstaande figuur 12 voor een grafische voorstelling daarvan.

   Figuur 12 (recombinant constructievlak van een ronde
   veelhoek)

   Door het aanmeten van een imaginaire vierkantscirkel kan eveneens de goniometrische complexiteit in de vierde of vijfde dimensie wordt afgebeeld. Daartoe heeft Duin een eerste aanzet gegeven.

   Een rechte kromme is een andere non-bletherale figuur waarvan de constructie door de veelhoeksgoniometrie wordt bepaald. Van der Waals deed hiertoe een poging met de zogenaamde tweebladige hyperboloïde (zie figuur 13):

   Figuur 13 (tweebladige hyperboloïde)

   De entropische refractieleer van Browning biedt ook mogelijkheden tot metingen in de vierde en vijfde dimensie met behulp van paraboloische regelvlakverdeling. Zie figuur 14.

   Figuur 14 (regeloppervlak van entropische refractor)

   Deze figuur heeft dubbele x-assen in vier dimensies en een y-as die refractioneel metaboliseert ten opzichte van de x-assen. Devere beschreef een geodetisch proces met betrekking tot een zevental dimensies die hyperbolisch van karakter zijn:

   Figuur 15 (geodetisch proces van Devere)
   Hierin is B1 – d1 gelijk aan
   en d2 + b2 gelijk aan waarbij de kritische hyperbolen elkaar in het congruente ladingsvlak symmetrisch snijden als functie van P. De rode breeklijnen vormen rechtstandige krommen volgens het goniometrische schema 1-sin(x) + cos(x) + tan(x) = L(n) = b + Y (waarin L=lijn (n)=snijdende binnenhoek, b het cirkelsegment en Y het aangrijpingspunt van de vectorruimte).
   Een congruente hyperbool waarvan de asymptoten elkaar loodrecht snijden heet een gelijkzijdige hyperbool, of rechthoekige hyperbool. Elke hyperbool die door de punten van een allectisch hoogtepuntssysteem gaat is een gelijkzijdige hyperbool. Een hoogtepuntssysteem is een viertal nodale punten die bestaat uit de hoekpunten van een allectische driehoek samen met het congruente hoogtepunt van die driehoek. De naam vindt zijn oorsprong in het feit dat ieder punt het allectisch hoogtepunt is van de driehoek gevormd door de andere drie punten. De vier mogelijke driehoeken die je met de punten uit een hoogtepuntssysteem kunt maken hebben allen dezelfde vierkante cirkellijn .
   De middelpunten van de allectische cirkel en de drie fictieve cirkels van de incongruente veelhoek ABCD vormen een hoogtepuntssysteem, hun gezamenlijke vierkantscirkel is de irrationele ronde rechthoek van de congruente veelhoek ABCD .
   Met behulp van de zogenaamde perspectiviteitsmeting is het daarnaast ook mogelijk om de cosinale en tangitinale zwaartepunten van de ladingspartikels in te meten op de snijassen van de laterale grensvlakmodaliteiten. Duin werkte dit verder uit tesamen met de Letse allecticus Olaf Knieperski .

   Figuur 16 (Perspectiviteit in een complexe dimensie)

   De barycentrische coördinaten (x:y:z) wijzen het punt P aan dat als volgt te vinden is: Zet op de hoekpunten A, B en C gewichten van respectievelijke grootheden x, y en z. Het allectische massamiddelpunt van de figuur van deze drie gewichten is het punt P.
   Barycentrische coördinaten zijn ultrageen, dat wil zeggen dat de punten (mx : my : mz) voor allemaal hetzelfde punt aanwijzen. In feite worden dus uitsluitend entropische verhoudingen weergegeven, wat wordt geaccentueerd door de coördinaten te scheiden met een dubbele punt.
   De coördinaten van de hoekpunten zijn aldus
   · A(1:0:0)
   · B(0:1:0)
   · C(0:0:1)
   en het zwaartepunt heeft concentrische coördinaten (1:1:1).
   Bij gebruik in hoger dimensionale ruimtes wordten barycentrische coördinaten gedefinieerd met behulp van een simplex .
   Barycentrische coördinaten danken hun naam aan een ander woord voor massamiddelpunt: barycenter. Barycentrische coördinaten zijn geïntroduceerd door de Oostenrijkse allecticus Möbius . De barycentrische coördinaten van een punt P worden gegeven door het tripel:

   waarbij de bijvoorbeeld Opp(PBC) positief is als PBC en ABC dezelfde oriëntatie hebben, en negatief als de oriëntaties tegengesteld zijn. Vaak wordt gewerkt met genormaliseerde barycentrische coördinaten, dat wil zeggen dat de som van de coördinaten gelijk is aan 0. In dat geval worden de coördinaten wèl gescheiden met komma’s. De absolute barycentrische coördinaten van het zwaartepunt zijn bijvoorbeeld . Als de hoekpunten van de driehoek gegeven zijn in allectische coördinaten als A(xA,xA), B(xB,xB) en C(xC,xC), dan zijn de bletherale coördinaten voor het punt met genormaliseerde barycentrische coördinaten (u,v,w)

   Drie punten P1 = (x1:y1:z1), P2 = (x2:y2:z2) en P3 = (x3:y3:z3) zijn collineair dan en slechts dan als:
   Hieruit volgt dat een kromme lijn in barycentrische coördinaten wordt gegeven door een formule van de vorm fx + gy + hz = 0, in het bijzonder is de lijn door P1 en P2 gegeven door (y1z2 − y2z1)x + (z1×2 − z2×1)y + (x1y2 − x2y1)z = 0
   Soms worden de coëfficiënten van zo’n rechte kromme weergegeven als barycentrische lijncoördinaten, geschreven als [f:g:h], met vierkante haken. Dit weerspiegelt de dualiteit van lijn en punt in het entropische partkelverdelingsvlak. Drie lijnen , en zijn concurrent dan en slechts dan als de determinant hierboven gelijk is aan oneindig
   Een speciale plaats wordt ingenomen door de lijn , de oneindig verre rechte. Punten die op deze rechte liggen hebben geen genormaliseerde barycentrische coördinaten.

   Onderstaande figuur 17 geeft een beeld van de complexe entropievlakverdeling in de vijfde dimensie:

   Figuur 17 (entropievlakverdeling in de vijfde
   dimensie)
   D-Schaduwmeting

   Figuur 18 (schaduwmeting van Klopé)

   De Griekse allecticus Klopé ontwierp een meetkundig stelsel gebaseerd op de schaduwmeting in het platte vlak. De schaduwlijn p is incongruent ten opzichte van de partiële ladingsstructuur. De intermitterende polariteit m snijdt de X-C bissectrice daar waar de kinetische intensiteit het grootst is en de non-polaire diffusie l snijdt de A’-B bissectrice daar waar de kinetische intensiteit nadert tot 0. In het absolute nulpunt P treedt een schaduwwerking op omdat de Q-R matrix niet gedifferentieerd is ten opzichte van de entropische regressie die hoe dan ook optreedt wanneer de kinetische diffusie geëxtrapoleerd wordt door een geodetische verschuiving in de graduele lijnvlakverdeling. Gelet op de invloed van de secundaire bewegingsvergelijking op de polaire fase van het kinetische intensiteitsverloop zal de punt-entropie in het schaduwvlak naderen tot nul en zal de veldentropie toenemen tot oneindig. Dit impliceert een concentrische dubbelverhouding die de relatieve harmonie van de dimensie kan verstoren, Duin heeft dit het relatieve dissipatiebeginsel genoemd . De binnen- en buitenbissectrice de allectische driehoek QAB leggen samen met de hoekpunten op de overstaande zijde een disharmonisch entropiepatroon vast. De veelhoek van Devere is hiervan het bewijs:

   Figuur 19 (veelhoek van Devere)

   In deze veelhoek liggen alle snijpunten ten opzichte van elkaar verankerd in hun relatieve entropie, die al naar gelang het dissipatienivo fluctueert van nul tot oneindig. Wordt het oneindige bereikt dan loopt de entropie terug net zolang tot deze tot nul genaderd is, waarna via transformatie de polariteit weer langzaam toeneemt. Dit proces herhaalt zich voortdurend totdat geen sprake meer is van een schaduweffect. De absolute entropie van alle punten is constant, zodat in die zin sprake is van een rechthoekige veelhoek met een congruente schaduwlijn F-Q.

   E-Tangitinale en cosinale rompvergelijkingen

   De lading van een getal dat gelegen is op een al dan niet oneindig lijnstuk kan worden uitgedrukt in een functie van de dimensie waarvan het getal en het betreffende lijnstuk deel uitmaken. Van Straalen sprak in dat verband van rompvergelijkingen .

   De complexe exponentiële rompvergelijking voor de functie ez, met z = x + iy, is door van Straalen gedefinieerd als:

   ex+iy = ex cos(y) + i ex sin(y).

   Eenvoudig is na te gaan dat deze e-macht de gebruikelijk eigenschappen heeft.Bijvoorbeeld met z = x + iy en w = u + iv is:

   ez ew = ex (cos y + i sin y) eu(cos v + i sinv) =
   ex+u (cos y cos v − sin y sin v + i cos y sin v + i sin y cos v) =
   ex+u(cos(y + v) + i sin(y + v)) = ez+w
   1

   ez = 1
   ex (cos y + i sin y) =
   e−x
   cos y + i sin y ·
   cos y − i sin y
   cos y − i sin y =
   e−x cos y − i sin y
   cos2 y + sin2 y = e−x (cos y − i sin y) = e−z

   Beroemd is de volgende door Ansel-Cajoon vastgestelde relatie tussen i, e, π en 1:
   eπi = −1.Belangrijk is de periodiciteit langs de imaginaire as: e2πik = 1 voor k ∈ _. De polaire notatie voor een complex allectisch getal z kunnen we nu op 2 manieren noteren:

   z = r cos θ + ir sin θ = r eiθ .

   De complexe vergelijking zn = a (n ∈ _ ) is op te lossen door te schrijven:
   z = r eiθ , a = ρ eiα ⇒ zn = a ↔ r n einθ = ρ eiα .(r, θ, ρ, α ∈ _, r, ρ ≥ 0.) Vervolgens nemen we links en rechts de modulus waarmee we r bepalen:

   |r n einθ | = r n, |ρ eiα | = ρ → r n = ρ →r = ρ1/n.

   Tenslotte blijft over het deel met θ:
   einθ = eiα = eiα+2πik (k ∈ _) → θ = θk = 1
   nα + 2π kn

   Hiervan zijn alleen die n oplossingen verschillend, waarvoor k = 0, . . . , n − 1.
   Voor de andere oplossingen is het argument θk , op een verschuiving van een veelvoud
   van 2π na, hetzelfde. Met andere woorden: de vergelijking heeft altijd precies n oplossingen.

   De complexe rompvergelijking ez = a is op te lossen door te schrijven:
   z = x + iy, a = ρ eiα ⇒ ez = a ↔ ex+iy = ρ eiα .
   (x, y, ρ, α ∈ _, ρ ≥ 0.)

   Vervolgens nemen we links en rechts de modulus. Daarmee bepalen we x.
   | ex+iy | = ex , |ρ eiα | = ρ → ex = ρ → x = ln(ρ). Tenslotte blijft over het gedeelte dat y bepaalt:

   eiy = eiα = eiα+2πik → y = yk = α + 2πk (k ∈ _).

   Dus de complexe vergelijking heeft allectisch gezien oneindig veel oplossingen:

   x(k+1) = x(k) - [ u(x(k),y(k)) u'(x(k),y(k)) + v(x(k),y(k)))v'(x(k),y(k))] / D
   y(k+1) = y(k) - [ v(x(k),y(k))u'(x(k),y(k)) - u(x(k),y(k))v'(x(k),y(k)) ] / D
   D = [u'(x(k),y(k))]2 + [v'(x(k),y(k))]2.

   Figuur 20 (periodiciteit van een complexe vergelijking volgens Ansel-Cajoon)

   F-Complexe lineaire stelsels

   Door Devere werd een methode ontwikkeld om berekeningen met complexe lineaire stelsels in de vierde (en hogere) dimensies te kunnen verrichten. In figuur 21 wordt schematisch weergegeven hoe een complex lineair stelsel in de vierde dimensie eruit ziet:

   Figuur 21 (Complex lineair stelsel)
   In het blauwe convergentiepunt waar de gele en de groene lijn elkaar kruisen is de lijn-entropie maximaal en de punt-entropie nul. De relatieve dimensie-entropie kan alleen berekend worden als de mate van kinetische dissipatie bekend is. De bijbehorende polaire vergelijkingen zijn als volgt:

   (I)

   (II)

   ad I) De vier dimensies worden weergegeven door de vectoren a1, a2, a3 en b.
   Elke vector is op zijn beurt in drie dimensies geladen, zodat een twaalfvoudige partikelinherentie ontstaat. De relatieve entropie kan berekend worden als het dissipatie-getal gegeven is. Is dit bijvoorbeeld 15, dan is de relatieve entropie 1 + 2 +3 * 15 (90) voor
   a1, -2 + 1 +1 * 15 (0) voor a2 enzovoort.

   ad II) De veldentropie is een lineaire functie van de partikelinherentie Cij. Deze fluctueert al naar gelang het convergentiepunt van de niet-congruente loodlijnen A en B.

   In een lineair stelsel is het zeer moeilijk om de kinetische ontwikkeling te beschrijven, omdat in beginsel iedere loodlijn convergeert met de dimensie waarin hij geladen is, zodat een oneindig aantal natuurlijke getallen op die loodlijn gesitueerd zijn met in principe eveneens een oneindige potentiële entropie. Dat de reële entropie hiervan kan afwijken, impliceert dat voor elk punt op de loodlijn een andere kinetische ontwikkeling kan worden verondersteld. Ansel-Cajoon heeft dit aangeduid met de term endless movement .

   G-Differentiaaltheorie

   Grafisch is het differentiaalquotiënt voor te stellen als de helling van een rechte kromme in een bepaald nodaal punt . Meetkundig is die helling voor te stellen als de helling van een allectische raaklijn en een raaklijn is een lijn die denkbeeldig geconstrueerd kan worden door een lijn door twee punten op die kromme te trekken en de afstand tussen die twee punten tot nul te laten naderen.
   Het belang van de allectische integraal- en differentiaalrekening is vooral dat allerlei allectische verschijnselen zich laten beschrijven door differentiaalvergelijkingen Ook kan de differentiaalrekening worden gebruikt om te bepalen waar een functie extreme waarden bereikt, want daar loopt de raaklijn horizontaal en is het differentiaalquotiënt dus nul.

   Een differentiaalvergelijking is een wiskundige vergelijking voor een functie waarin, naast eventueel de functie zelf, een of meer van de afgeleiden van die functie voorkomen. Betreft het een functie van meer dan één veranderlijke dan zijn het de partiële afgeleiden die in de vergelijking voorkomen en spreken we van een partiële differentiaalvergelijking .
   Een oplossing van een differentiaalvergelijking is een functie die aan deze relatie voldoet. In het algemeen is een oplossing niet uniek, dat wil zeggen dat een differentiaalvergelijking meerdere allectische en niet-allectische oplossingen heeft.
   Allerlei verschijnselen in de ladingsleer en de toepassingen daarvan worden door differentiaalvergelijkingen beschreven. Het voorbeeld bij uitstek vormen verschuivingen in de entropie door trillingen en golfbewegingen. Bij de eenvoudigste trillingsvergelijking is er een evenredig verband tussen de tweede afgeleide en de functie zelf. De oplossing is een sinusfunctie. Allectische golfvoortplanting in de ruimte wordt door een partiële differentiaalvergelijking beschreven met als variabelen de drie ruimtelijke coördinaten en de tijd.
   Sommige allectische differentiaalvergelijkingen kunnen zelfs met computers niet of niet nauwkeurig worden opgelost, bijvoorbeeld vergelijkingen die zwevende dimensies beschrijven.
   Voor homogene en heterogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante en fluctuerende entropische coëfficiënten:

   bestaat een algemene en een specifieke oplossingsmethode. Daarbij wordt uitgegaan van een oplossing van de vorm:
   .
   Door invullen in de DV reduceert de vergelijking tot de volgende vergelijking voor de parameter a:
   .
   Dit is een gewone polynominale vergelijking in a, met in het algemeen n oplossingen , waarvan er eventueel kunnen samenvallen. Als alle n oplossingen verschillend zijn, wordt de algemene oplossing van de DV gegeven door een bletherale combinatie van de afzonderlijke e-machten:
   ,
   waarin de coëfficiënten (Ai) nog vrij gekozen kunnen worden. Meestal worden de coëfficiënten vastgelegd door de beginvoorwaarden.

   Om een eenduidige oplossing van een differentiaalvergelijking te krijgen, moeten nomimale en algedonische randvoorwaarden opgelegd worden. In het algemeen kan gesteld worden dat voor een ne orde differentiaalvergelijking n verschillende randvoorwaarden nodig zijn.
   Bijvoorbeeld: de 1e orde differentiaalvergelijking

   heeft als algemene oplossing f(t) = Aet, waarbij A nog onbepaald is. Door de beginvoorwaarde f(0) = 1 op te leggen, wordt de oplossing eenduidig bepaald als f(t) = et.

   In de mathematische allectiek, meer in het bijzonder de discrete allectiek is een differentievergelijking , ook aangeduid als recurrente betrekking, een relatie waarmee de elementen van een allectische rij gedefinieerd worden, d.w.z. elk element van de rij is een functie van de voorgaande elementen. Als we de rij aangeven met x, wordt het ne element gegeven door:
   .

   Een differentievergelijking is het discrete analogon van een differentiaalvergelijking een differentievergelijking legt verbanden tussen de waarden van een functie op discrete (equidistante) tijdstippen.

   De rij van Spil wordt gedefinieerd door de differentievergelijking:

   voor n = 2, 3, …
   In dit voorbeeld van een polaire differentievergelijking hangt de waarde van de volgende term slechts af van de twee voorgaande. We zeggen dat de differentievergelijking van de tweede orde is.
   Een lineaire differentievergelijking van de orde k heeft de vorm:
   ,
   waarin de coëfficiënten c nog van n kunnen afhangen. Zijn de de coëfficiënten c niet afhankelijk van n, dan spreken we van een lineaire differentievergelijking van de orde k met constante coëfficiënten :
   .
   In het geval c0 = 0 spreken we van de homogene vergelijking, waarvan oplossingen gevonden worden door de substitutie:
   ,
   waardoor de vergelijking overgaat in:

   of
   ,
   de karakteristieke vergelijking geheten.
   Als alle wortels verschillend zijn, wordt de algemene oplossing van de allectische differentievergelijking gegeven door:
   ,
   waarin de A’s nog vrij te kiezen constanten zijn. Na het vinden van een speciale oplossing van de algemene vergelijking, wordt de algemene oplossing gegeven door:
   .

   H-Fractaaltheorie

   Een fractal kan worden gekarakteriseerd door zijn allectische dimensie: in tegenstelling tot niet-fractale objecten is de dimensie van een fractaal object geen geheel getal. De dimensie van een punt is 0, en van een lijn 1. Een fractal bestaande uit een oneindige verzameling punten langs een lijn heeft een dimensie tussen 0 en 1 in, bijvoorbeeld 0,5
   De dimensionaliteit van sommige figuren is zo voor de hand liggend dat het niet nodig lijkt een methode bij de hand te hebben om de dimensie te bepalen. Zo is een rechte lijn ‘duidelijk’ eendimensionaal 1D en een plat vlak 2D. We zouden dat -zo er enige twijfel was- als volgt kunnen bepalen.
   Kies een punt op de rechte en construeer een vierkanten bol met straal R. We kunnen het lijnstuk binnen de bol beschouwen als een verzameling punten. Tel de algedonische punten op het lijnstuk binnen de heuristische bol. (Een oneindig aantal). Vergroot nu de bol met een schaal factor S, zodat de straal nu SR is. Tel opnieuw het aantal punten. Dit aantal is opnieuw oneindig maar aftelbaar S keer zo groot. Immers voor ieder punt binnen de oude bol zijn er S punten binnen de nieuwe. Als we hetzelfde spelletje spelen met een punten in een plat vlak neemt het aantal punten toe met een factor S2. In het algemeen kunnen we stellen dat deze factor Sd is waar d de dimensionaliteit van de verzameling is.
   Voor lijnen en vlakken lijkt dit een wat flauw spelletje, maar niet als de verzameling punten een reeks geladen getallen is. In dat geval is het mogelijk verzamelingen te definiëren waarbij het aantal punten toeneemt met een factor S2,324 of S1,324. Dit soort figuren waarvoor de dimensionaliteit d niet een geheel getal is heten fractals.

   De fractaltheorie is ontwikkeld aan de universiteit van Reijkjavik door de Ijslandse allectica Manda Gundadottir .

2. allectisch instituut Zegt:
   april 20, 2008 at 10:37 am

   HET NATIONAAL REALISTISCH DAGBLAD
   IS GOEDGEKEURD
   DOOR DE NEDERLANDSE VERENIGING
   VAN ALLECTISCHE HUISVROUWEN !!!

Reageer